Définition :
Un triangle (non dégénéré) est la donnée d'un triplet de points (non alignés) appelés sommets du triangle
(Point)
Notation
Définition :
On note \(\triangle ABC\) le triangle dont les sommets sont \((A,B,C)\)
Côtés d'un triangle
Définition :
Les côtés du triangle \(\triangle ABC\) sont les segments \([AB],[BC],[AC]\)
(Segment)
Droites des côtés
Définition :
Les droites des côtés du triangle \(\triangle ABC\) sont \((AB),(BC),(AC)\)
(Droite)
Triangles particuliers
Triangles similaires
Définition :
Deux triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle A'B'C'\) sont dits similaires, et on note \(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\) si et seulement si on a les égalités entre angles orientés : $$\begin{cases}\measuredangle A=\measuredangle A'\\ \measuredangle B=\measuredangle B'\\ \measuredangle C=\measuredangle C'\end{cases}$$
Proposition :
On a les équivalences : $$\begin{align}&{{\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'}}\\ \iff&{{(AB:BC)=(A'B':B'C')\quad\text{ et }\quad \measuredangle B=\measuredangle B'}}\\ \iff&{{(AB:BC:CA)=(A'B':B'C':C'A')}}\\ \iff&{{\triangle A'B'C'\text{ est l'image par similitude de }\triangle ABC}}\end{align}$$
Triangle équilatéral
Définition
Définition :
Le triangle \(\triangle ABC\) est dit équilatéral si et seulement si $$AB=BC=CA$$
Caractérisation
Pour montrer que trois points forment un triangle équilatéral, il faut montrer que...
la distance entre les trois points est la même
les points ne sont pas alignés/confondus
Triangle isocèle
Définition :
Le triangle \(\triangle ABC\) est dit isocèle de base \(AB\) si et seulement si $$BC=CA$$
Triangle rectangle
Définition
Définition :
Le triangle \(\triangle ABC\) est dit rectangle en \(C\) si et seulement si \(\measuredangle C=\frac\pi2\)
Dans ce cas, on appelle...
le côté opposé à l'angle droit \([AB]\) l'hypoténuse
les deux côtés adjacents à l'angle droit \([CA]\) et \([CB]\) les cathètes
Caractérisation
Si \(\triangle ABC\) est un triangle inscrit dans un cercle, et que son plus long côté est un diamètre de ce cercle, alors \(\triangle ABC\) est un triangle rectangle
Triangle acutangle
Définition :
Le triangle \(\triangle ABC\) est dit acutangle si et seulement si les trois angles sont aigus
Triangle obtusangle
Définition :
Le triangle \(\triangle ABC\) est dit obstusangle si et seulement si l'un des angles est obtus
Définition :
Deux triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle A'B'C'\) sont dits égaux, et on note \(\triangle ABC=\triangle A'B'C'\), \(\triangle ABC\simeq\triangle A'B'C'\), \(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\) ou \(\triangle ABC\triangleq\triangle A'B'C'\) si et seulement si $$\begin{cases} AB=A'B'\\ BC=B'C'\\ AC=A'C'\end{cases}$$
Proposition :
On a les équivalences : $$\begin{align}&{{\triangle ABC=\triangle A'B'C'}}\\ \iff&{{AB=A'B'\quad\text{ et }\quad\measuredangle A=\measuredangle A'\quad\text{ et }\quad \measuredangle B=\measuredangle B'\quad\text{ et }\quad \measuredangle C=\measuredangle C'}}\\ \iff& {{AB=A'B'\quad\text{ et }\quad AC=A'C'\quad\text{ et }\quad BC=B'C'}}\\ \iff&{{\triangle A'B'C'\text{ est l}^\prime\text{image par isométrie de }\triangle ABC}}\end{align}$$
(Isométrie)
Barycentre
Proposition :
Les trois médianes des côtés d'un triangle se coupent en un point, appelé barycentre du triangle
(Médiane, Barycentre)
Cercle circonscrit
Proposition :
Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent dans le centre du cercle circonscrit du triangle
(Médiatrice, Cercle)
Proposition :
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypothénuse
Hauteur
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un des sommets est qui est perpendiculaire au côté opposé
Définition :
Dans un triangle, la projection orthogonale d'un sommet sur le côté opposé est appelé pied de la hauteur
(Projection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie))
Triangle des milieux
Proposition :
Soit \(A',B',C'\) les milieux des côtés \([BC],[CA],[AB]\) respectivement
Le triangle \(\triangle A'B'C'\) est dit triangle des milieux, et nous avons :
\(H_{G,-1/2}(\triangle ABC)=\triangle(A'B'C')\) et \(H_{G',-2}(\triangle A'B'C')=\triangle ABC\)
Les médiatrices de \(\triangle ABC\) sont les hauteurs de \(\triangle A'B'C'\)
Proposition :
Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point appelé orthocentre du triangle
Si \(D\) est l'orthocentre du triangle \(\triangle ABC\), alors \(A\) est l'orthocentre du triangle \(\triangle BCD\)
Proposition :
Dans un triangle rectangle, l'orthocentre coïncide avec le sommet de l'angle droit
Proposition :
L'orthocentre est à l'intérieur du triangle si et seulement si ce triangle est acutangle
Droite d'Euler
Proposition :
Soient \(O,G,H\) le centre du cercle circonscrit, le barycentre et l'orthocentre respectivement d'un triangle
Alors les trois points sont alignés dans cet ordre \(O,G,H\), avec le rapport des longueurs $$(OG:GH)=(1:2)$$
On appelle la droite sur laquelle sont ces points la droite d'Euler
Cercle inscrit
Proposition :
Il existe un unique cercle intérieur au triangle et qui touche les trois côtés. Il est appelé cercle inscrit et son centre est l'intersection des trois bissectrices intérieures
Cercle exinscrit
Proposition :
Il existe trois cercles extérieurs au triangle et qui touche les trois côtés. Ils sont appelés cercles exinscrits et leur centres sont les intersections d'une bissectrice intérieure avec deux bissectrices extérieures
